Fondamenti della meccanica atomica
Affinchè questo sistema di equazioni lineari ed omogenee in c1, c2 ammetta soluzioni non nulle, deve aversi
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stessa inclinazione in A ed in B (e quindi l'intervallo AB deve essere un multiplo della lunghezza d'onda donde la (28)) ma resta arbitraria la fase θ
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e si deve cercare, se è possibile, di ridurre l'equazione all'eguaglianza di un'espressione contenente sole funzioni di x con una contenente sole
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e questa è la sola limitazione per e . Tutto ciò che si può ricavare da essa, riguardo a cos e cos separatamente, è che ciascuno di essi deve esser
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(1) Per precisare il significato che si deve dare in meccanica ondulatoria alla parola « probabilità», si deve pensare di avere un gran numero N di
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, e quindi deve risultare uguale ad 1: perciò la deve soddisfare la condizione
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Si osservi che questa deve essere una identità rispetto ad x, y, z, e che, d'altra parte, x, y, z vi figurano solo attraverso la U: dovrà dunque
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(2) Per una giustificazione di queste condizioni, come pure per la enunciazione delle condizioni cui deve soddisfare la in problemi più generali di
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In particolare, se si susseguono, in un ordine qualunque, due emissioni β ed una a, il peso atomico deve diminuire di 4, ma la carica nucleare non
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D'altra parte, questa quantità deve essere uguale al numero medio delle particelle che nell'unità di tempo entrano nel volume S attraverso la
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Si riconosce subito che la E non può essere negativa (e quindi che k deve essere reale) perchè altrimenti la u diventerebbe infinita per o per , il
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e poichè la u deve essere continua, insieme alla sua derivata prima, per x = O, le quattro costanti dovranno esser legate dalle relazioni
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Dalla (184) e dalla (190) risulta che la E deve avere uno dei valori
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Ora sulle pareti deve essere per qualunque t: ciò porta ad una limitazione dell'arbitrarietà del vettore di propagazione k. Difatti, supponiamo che
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si vede subito che, affinchè sia per e per x, (qualunque siano y, z, t), deve essere , con intero; e similmente per e : quindi
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e poichè la deve essere periodica a periodo nella (altrimenti la u non risulterebbe ad un sol valore per ogni punto dello spazio), dovrà essere
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da cui si ricava che A deve essere uguale al numero intero
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e ricavando dalla (259), si trova infine che, se E è negativo, esso deve avere uno degli autovalori
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(dove il limite inferiore dell'integrale è un valore qualunque, ma fissato, di x). Si verifica subito infatti, sostituendo nella (291), che la y deve
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, come deve, dovrà essere : così nella I regione la u si riduce a
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Passando a considerare la regione III si riconosce, in modo analogo al precedente, che affinchè la u si annulli per , nella regione III deve mancare
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dove è una costante per ora indeterminata, e che non ci interessa. Questa espressione si deve ricollegare ad una della forma (301), valida nella
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È noto che la teoria elettromagnetica della luce dimostra che all'energia raggiante W deve essere associata una «quantità di moto elettromagnetica» W
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risultati delle osservazioni eseguite sull'elio e sull'idrogeno: tuttavia questa coincidenza si deve ritenere, in certo modo, fortuita.
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Una conseguenza importante del modello atomico di Rutherford è che un atomo deve possedere in genere un momento magnetico a causa del moto orbitale
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deve essere soddisfatto non solo nei riguardi della frequenza ma anche delle altre proprietà della radiazione emessa. Tale postulato, noto col nome
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e si osserva che il primo vettore deve essere la risultante degli altri due, si ha subito, dal triangolo OBC, per il teorema di Carnot,
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e si ricerchi la condizione perchè sia hermitiano. Applicando la (46), si vede che deve essere, per qualunque f,
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e poichè questo deve valere per qualunque deve essere
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(2) Il concetto di probabilità si deve intendere qui precisato nel modo spiegato nella nota al § 25 p. II.
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su questi assi, come probabilità del valore si deve prendere
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stato dopo la duplice osservazione giace su un asse principale comune ai due operatori e . E poichè questo deve verificarsi qualunque sia lo stato
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: ma affinchè abbia un sol valore in ogni punto dello spazio, essa deve essere periodica in a periodo : quindi dovrà aversi con m intero, ossia
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caso il potenziale U, espresso in coordinate polari, deve risultare indipendente da , e quindi l'hamiltoniano non contiene ed è perciò permutabile con
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Quindi nella (162) deve prendersi , e l'espressione degli autovalori dell'energia, diviene
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In seguito, poichè la teoria di Bohr condusse a prevedere che l'He+ deve emettere una serie siffatta, queste righe furono ricercate, e trovate, nello
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dove le k sono costanti, e, per l'hermiticità, deve essere . Siffatti operatori, applicati alla (238), sostituiscono le funzioni con due loro
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e, affinchè questa si riduca alla matrice unitaria, deve aversi , cioè , con reale (arbitrario). Ragionando in modo analogo per , si conclude che
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quindi, perchè sia , deve essere . Si ha poi
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(2) Tale ipotesi si può del resto giustificare con la considerazione che nessun punto dello spazio-tempo deve risultare privilegiato.
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Affinchè questa si identifichi con la (256), deve essere:
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distinta da (1, 2), vale a dire deve risultare
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non deve alterarsi scambiando le variabili con le e, d'altra parte, questo scambio muta solo di segno l'integrando: dunque l'integrale è nullo. Si
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ovvio che ogni grandezza avente significato fisico, e in particolare la densità di probabilità , deve risultare simmetrica rispetto a tutte le particelle
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, per ciascuno di questi scambi o trasposizioni, il ragionamento del § precedente, e si giunge alla conclusione che la deve essere o simmetrica o
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Normalizzando e si trova che il modulo di questi coefficienti deve essere , cosicchè si può scrivere
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dove m è la massa di un elettrone. Se ne deduce, in particolare, che se il fascio di elettroni incontra un reticolo, esso deve essere diffratto come
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proporzionalmente a , il che è in accordo con la teoria della Relatività, secondo la quale la massa m deve variare con la legge
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α) la y si deve annullare ad entrambi gli estremi:
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β) la y deve assumere gli stessi valori ai due estremi e così la :
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Accademia della crusca
